バナナでもわかる話

計量経済学・統計学が専門の大学院生です。統計学・経済学・投資理論・マーケティング等々に関する勉強・解説ブログ。ときどき趣味も。極力数式は使わずイメージで説明出来るよう心掛けていますが、時々暴走します。

【初心者向け】ポートフォリオのリターンって何?

前回、株式投資を例にリターンとは何かということについて説明しました。
bananarian.hatenablog.com


今回は投資の組み合わせ(ポートフォリオ)のリターンについて詳しく説明します。


ポートフォリオって何?

投資理論で言うところのポートフォリオとは、投資の組み合わせです。
例えばA社の株に元手の30%を投資して、B社の株に元手の40%を投資して、C社の株に元手の30%を投資するというような、投資の組み合わせや投資の計画、そんなものをポートフォリオと呼んでいます。


リターンのおさらい

詳しくは前の記事(【初心者向け】投資のリターンとは? - バナナでもわかる話)を見てほしいのですが、要は次のようなものをリターンと呼んでいました。


t時点でA社の株を購入し、その価値が
X_tだったとします。t+1時点で
X_{t+1}の価値になり、この時点で売却しました。簡単に考えるためにこの株には配当がないものとします。この時のリターン
R_xは次のようになります。

R_x=\frac{X_{t+1}-X_t}{X_t}=\frac{X_{t+1}}{X_t}-1

ポートフォリオのリターンの数式表現

それでは、ポートフォリオを数式で表現するとどうなるか考えていきましょう。
今、手元に資産が
X_{p,0}だけあるとします。何で添え字にpをつけたかというと、ポートフォリオの元手であることをわかりやすくするためです。
1期間の間、適当にポートフォリオを組んで運用したら資産が
X_{p,1}になっていました。この時のリターン
R_pは、今までと同じように考えてやると次のようになります。


R_p=\frac{X_{p,1}-X_{p,0}}{X_{p,0}}=\frac{X_{p,1}}{X_{p,0}}-1


2資産ポートフォリオのリターン

それではもう少しポートフォリオの中身を具体的に書いてみましょう。
株式a,株式bの2種類の株式に投資を行ったとします。株式aに対する投資額は
X_{a,0}、株式bに対する投資額は
X_{b,0}としておきます。
そうすると、手元の資産を全てをこの2種類の株式に投資していたとすると、次のようになりますよね。


X_{p,0}=X_{a,0}+X_{b,0}

これは手元にあった資産
X_{p,0}を株式a、株式bに振り分けたことを表しています。

更に、1期間経った後での、この投資していた株式a、株式bの価値を
X_{a,1},X_{b,1}と表すと、先ほどと同じように考えると次の式も成り立つことがわかります。


X_{p,1}=X_{a,1}+X_{b,1}


これで準備は終わりです。改めてポートフォリオのリターンを考えてみましょう。
ポートフォリオのリターンは次のようになるのでした。


R_p=\frac{X_{p,1}-X_{p,0}}{X_{p,0}}=\frac{X_{p,1}}{X_{p,0}}-1


ここで、一番右端の式の
\frac{X_{p,1}}{X_{p,0}}に注目します。


X_{p,1}=X_{a,1}+X_{b,1}だったことを思い出して、分子に代入すると、



\frac{X_{p,1}}{X_{p,0}}=\frac{X_{a,1}+X_{b,1}}{X_{p,0}}= \frac{X_{a,1}}{X_{p,0}}+ \frac{X_{b,1}}{X_{p,0}}


足し算に分解できました。分解出来た足し算の1項目を取り出してみましょう。



\frac{X_{a,1}}{X_{p,0}}


これを次のように強引に分母をいじってやれば、株式aのリターン
R_aが出てくることがわかりますか?



\frac{X_{a,1}}{X_{p,0}}=\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}\frac{X_{a,1}}{X_{a,0}}=\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}(\frac{X_{a,1}}{X_{a,0}}-1+1)=\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}(R_a+1)


こうして先ほどの足し算を次のように変形できます。



\frac{X_{p,1}}{X_{p,0}} \\
=\frac{X_{a,1}}{X_{p,0}}+ \frac{X_{b,1}}{X_{p,0}} \\
=\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}(R_a+1)+\frac{X_{b,0}}{X_{p,0}}(R_b+1)
=\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}R_a+\frac{X_{b,0}}{X_{p,0}}R_b+(\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}+\frac{X_{b,0}}{X_{p,0}})


最後の項の
(\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}+\frac{X_{b,0}}{X_{p,0}})
ですが、
X_{p,0}=X_{a,0}+X_{b,0}であることを思い出すと、1になることがわかります。以上より



\frac{X_{p,1}}{X_{p,0}}=\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}R_a+\frac{X_{b,0}}{X_{p,0}}R_b+1


長々数式を書きましたが、これで最後です。ポートフォリオのリターンの式を思い出してください。



R_p=\frac{X_{p,1}-X_{p,0}}{X_{p,0}}=\frac{X_{p,1}}{X_{p,0}}-1=\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}R_a+\frac{X_{b,0}}{X_{p,0}}R_b+1-1=\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}R_a+\frac{X_{b,0}}{X_{p,0}}R_b


ポートフォリオのリターンは投資先である株式aと株式bのリターンで表すことができちゃいます!


ちなみに上の式で各株式のリターンにひっついている
\frac{X_{b,0}}{X_{p,0}}や、
\frac{X_{a,0}}{X_{p,0}}のことを各株式の投資比率と呼びます。

よくよく式を見てもらうとわかりますが、元手の内aに投資した額はいくらか、元手の内bに投資した額はいくらかという比率になっていることがわかります。そういうわけで投資比率と呼んでいます。

2資産ポートフォリオのリターンまとめ

つまり、以上のことからポートフォリオのリターン
R_pは、投資した株式a,bのリターン
R_a,R_bと、株式a,bに対する投資比率
w_a,w_bを使って次のように表すことが出来ます。



R_p=w_aR_a+w_bR_b

投資のリスク分析等はこのポートフォリオのリターンを使って行っていくことになります。
次回はこのポートフォリオのリターンの詳しい性質や資産を増やした場合のリターンについても説明します。