基礎からイメージで学ぶ統計学~大数法則編~

大数法則は有名ですね。
要は標本サイズをどんどん大きくしていくと、
標本平均が真の期待値に(確率的な意味で)収束するという定理です。

今回の記事は、大数法則を直感的に理解するということで、シミュレーションでの確認を行いましょう。

シミュレーション1

期待値10,分散15の正規分布から、標本 $X_1,X_2,...$ を取り出していって、
その都度 $\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}$ を計算してプロットしてみます。

大数法則が正しければ10に近づくはずですね。

というわけで10000個取り出してみました。
f:id:bananarian:20181012011957p:plain

コードはこんな感じ

data=vector()
sample_mean=vector()

for(i in 1:10000){
	data[i]=rnorm(1,10,sqrt(15))
	sample_mean[i]=sum(data)/i
}
plot(1:10000,sample_mean,xlab="サンプルサイズ",ylab="標本平均",type="l")
abline(10,0,col="red")

シミュレーション2

分散だって期待値でしたね。一応確認しておくと
$(分散)=E[(X-\mu)^2]$

でした。

ということは $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$ としてやると、次のような現象が起きるはずです。

①まず、 $\bar{X}$ は標本平均なので、 $\mu$ に収束します。
② $\mu$ になったとすると、 $(X_i-\mu)^2$ をいっぱい取ってきて、平均していることになるので、分散に収束するはず。

試してみましょう。
f:id:bananarian:20181012012844p:plain

コードはこんな感じ

data=vector()
sample_mean=vector()
sample_var=vector()

for(i in 1:10000){
	data[i]=rnorm(1,10,sqrt(15))
	sample_mean[i]=sum(data)/i
	d=data-sample_mean[i]
	d2=d^2
	sample_var[i]=sum(d^2)/i
}
plot(1:10000,sample_var,xlab="サンプルサイズ",ylab="標本分散",type="l")
abline(15,0,col="red")