ルベーグ積分入門テレンス・タオ演習1.1.18の解答

ルベーグ積分の勉強のために、タオの『ルベーグ積分入門』を読み始めました。

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タオの教科書は、内容が非常に明快である一方、重要な部分がほとんど演習問題に任されていて、しかもその演習問題がそこそこ難しいということで*1、自分なりに演習問題を解いてみようと思います。数学科ではないので、証明等は自己流ですので、何か穴、指摘等あればお願いしますm(__)m

演習1.1.18までの概要
演習1.1.18
- 有理数点を除いた正方形
- 有理数点

演習1.1.18までの概要

ルベーグ測度の話をする前に、古典的な測度をザックリ導入しておこうという話でした。
そこで、前回の記事でも確認したように、基本測度という矩形を並べる形での測度の概念があり、
ルベーグ積分入門テレンス・タオ演習1.1.1 (ブール閉包) の解答 - バナナでもわかる話

そこから、ジョルダン測度の導入も行っています。

ジョルダン測度の、この本における定義は次のようでした。

$E \subset \mathbb{R}^d$ を有界な集合とする。この時 $E$ のジョルダン内測度 $m_{*,(J)}(E)$ とジョルダン外測度 $m^{*,(J)}(E)$ を次のように定義する。
$m_{*,(J)}(E):=sup_{\{A\subset Eとなる基本集合A\}}\ \ \ \ \,m(A)$
$m^{*,(J)}(E):=inf_{\{E\subset Bとなる基本集合A\}}\ \ \ \ \,m(B)$
ただし、ここで、 $m()$ は基本集合から定義した基本測度のこと。
この時
$m_{*,(J)}(E)=m^{*,(J)}(E)$ ならば $E$ はジョルダン可測であると呼び、 $m(E):=m_{*,(J)}(E)=m^{*,(J)}(E)$ をジョルダン測度と呼ぶ。

ジョルダン可測な集合は、かなりたくさんあり、ジョルダン測度を考えること自体は価値あることだが、ジョルダン可測ではない集合も存在するので、それを確認した上でルベーグ測度を考えることの重要性を考えておきたいとのことでした。

演習1.1.18

$E \subset \mathbb{R}^d$ を有界な集合とする。
この時、有理数点を抜いた正方形 $[0,1]^2 \backslash \mathbb{Q}^2$ とその有理数点の集合 $[0,1]^2 \cap \mathbb{Q}^2$ は共に、ジョルダン内測度が0でジョルダン外測度が1であることを示せ。

内測度と外測度が一致しないので、この２つは有界集合であるにもかかわらずジョルダン可測ではないということです。
これを示していきます。

有理数点を除いた正方形

まず、有理数点を除いた正方形 $[0,1]^2 \backslash \mathbb{Q}^2$ を考えていこうと思います。

まず、 $[0,1]^2 \backslash \mathbb{Q}^2$ 内の任意の点は無理数点です。しかし $\mathbb{Q}^2$ は $\mathbb{R}^2$ について稠密のため、近傍には有理点が存在します。よって、内測度を考えると、内側から包まれる基本集合は各無理点でしかなくジョルダン内測度は0。