基礎からイメージで学ぶ統計学~一致推定量編~

前回は大数法則について確認しました。

大数法則に従って、サンプルサイズを大きくしていった時に真の値に収束するような推定量を一致推定量と呼びます。

期待値の一致推定量

不偏推定量の話でやった $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ は、前回の大数法則の記事で確認した通り一致推定量です。

普通の教科書ならここで終わる所ですが、

$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i$ はどうでしょう。

大数法則の定義に従えば、 $n→\infty$ の時に成り立てばよいわけなので

$n-1$ で割っても $n$ で割っても同じですよね。

まあ厳密に考えるのであれば

$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i=\frac{n-1+1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}X_i$
$=\frac{n-1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}X_i+\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}X_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i+\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}X_i$

一項目の $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ は大数法則から期待値 $\mu$ に収束しますね。

二項目ですが、 $\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}X_i=\frac{1}{n-1}\{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\}$
なので、
サンプルサイズを大きくするとまず $\{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\}$ が $\mu$ に収束するわけですが、