【初心者向け】2017年統計検定1級数理問5の解説

前回問4までやりました。
bananarian.hatenablog.com

今回で2017年の統計数理は最後ですね。
2017年　統計検定1級　統計数理　問5　対策用解説を始めていきます。

問5の概要

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標準正規分布に従う確率変数の二乗和はカイ二乗分布に従うという話について、確認したことはありますか？
という話ですね。ちなみに[2]はそこから更にF分布の導出を要求しており、[3]は多少マイナーですが、コーシー分布の密度関数の導出ですね。

こうしてみてみると、統計検定、各分布の導出が多い印象がありますね～。

問5[1]

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やはり、統計検定で変数変換は必須ですね～。この手の問題については問3でも問4でもやりましたね。
$V=Z^2$

という形で変数変換をしていますので、今回使う変数 $Z$ は
$Z=V^{\frac{1}{2}}$ となります。

よって
$f(v)=\varphi(v^{\frac{1}{2}})\frac{dZ}{dv}.....!!$

とすると間違いになります。何故なら、 $v^{\frac{1}{2}}≧0$ であるわけですが、 $\varphi(・)$ の $・$ の範囲は $-\infty$ から $\infty$ です。よって、条件付分布で考えなければなりません。

ここで $\varphi(x|x≧0)=\frac{Prob(x,(x≧0))}{Prob(x≧0)}$ であり

※これは直感的にわかりますかね。要は $x≧0$ の範囲で全体の和が1にならなければならないので、標準化しています。

$Prob(x≧0)=(標準正規分布の丁度半分)=\frac{1}{2}$

よって $\varphi(x|x≧0)=2Prob(x,(x≧0))$

以上より、
$f(v)=\varphi(v^{\frac{1}{2}}|x≧0)\frac{dZ}{dv}=2\varphi(v^{\frac{1}{2}})\frac{dZ}{dv}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{v}}e^{-\frac{v}{2}}$

問5[2]

次行きます。
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F分布ですね。もう方針は変数変換一本です。
$s=\frac{x}{y}$
$u=x$
とおくことにしましょう。

この時、
$x=u$
$y=\frac{u}{s}$

であるが、

$\frac{\partial x}{\partial u}=1$
$\frac{\partial x}{\partial s}=0$
$\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{s}$
$\frac{\partial y}{\partial s}=-\frac{u}{s^2}$

なので、

$g(s)=\int_{0}^{\infty}|-\frac{u}{s^2}|f(u)f(\frac{u}{s})du$

はい。あとは頑張って積分するだけです。計算間違いに気を付けてください。
私も今回の記事を書くにあたって、積分ミスって結構詰まりました(笑)
一応計算プロセスを書いておきます。

$g(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\frac{u}{s^2}}{\frac{u}{\sqrt{s}}}exp(-\frac{1}{2}u(1+\frac{1}{s}))du$
$=\frac{1}{\pi\sqrt{s}(1+s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1+s}{2s}exp(-\frac{u}{2}(1+\frac{1}{s}))du$
$=\frac{1}{\pi\sqrt{s}(1+s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}(1+\frac{1}{s})exp(-\frac{u}{2}(1+\frac{1}{s}))du$
$=\frac{1}{\pi\sqrt{s}(1+s)} [-exp(-\frac{u}{2}(1+\frac{1}{s}))]_{0}^{\infty}$
$=\frac{1}{\pi\sqrt{s}(1+s)}(0-(-1))=\frac{1}{\pi\sqrt{s}(1+s)}$