バナナでもわかる話

開設当初は計量経済学・統計学が専門の大学院生でした。今はデータを扱うお仕事をしています。統計学・経済学・投資理論・マーケティング等々に関する勉強・解説ブログ。ときどき趣味も。極力数式は使わずイメージで説明出来るよう心掛けていますが、時々暴走します。

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統計検定1級対策問題集~指数分布編~

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統計検定1級対策のために役立ちそうな計算問題をまとめるやつやっていきます。
統計検定前の最終チェックや、統計検定の勉強何をすれば分からないという場合に活用ください。


今回は指数分布関連。
今回はそんなに難しい話はないです。



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目次

指数分布の特徴

f(x) =\lambda exp(-\lambda x)

・連続値の分布
・ x \in[0,\infty)


モーメント周りの計算

積率母関数の導出

積率母関数の定義は次の通りでした。
E[exp(tx)]

計算していきます。

E[exp(tx)]=\int_{0}^{\infty} \lambda exp(-\lambda x +tx ) dx

=[\frac{\lambda}{t-\lambda} exp((t-\lambda)x) ]_{0}^{\infty}

ここで積率母関数のtは 0の近傍で定義されるため、
t≦\lambda

= \frac{\lambda}{\lambda-t}

期待値の導出

定義に従った計算

まず、定義に従って期待値を求めてみます。
E[x]=\int_{0}^{\infty} \lambda x exp(-\lambda x) dx

= -\int_{0}^{\infty} x (-\lambda exp(-\lambda x)) dx

=-\{ [x exp(-\lambda x) ]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} exp(-\lambda x) dx \}

=-\{0 -[ \frac{1}{-\lambda} exp(-\lambda x) ]_{0}^{\infty} \}

=\frac{1}{\lambda}


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分散の導出

定義に従った計算

Var[x]=E[x^2] -(E[x])^2

E[x^2] = \int_{0}^{\infty} \lambda x^2 exp(-\lambda x) dx

=-\{ [x^2 exp(-\lambda x) ]_{0}^{\infty} -2\int_{0}^{\infty} x exp(-\lambda x) dx \}

= -\{0-\frac{2}{\lambda} E[x] \}

=\frac{2}{\lambda^2}

Var[x]=\frac{2}{\lambda^2} -\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}



指数分布の無記憶性の証明

指数分布には、無記憶性という特殊な性質があります。これは、どういう性質かというと次のような性質を指します。

Prob(x>M)=\int_{M}^{\infty} \lambda exp(-\lambda x)dx

というようなM以上になる確率があるとします。ここで、 M=m_1+m_2とし、

Prob(x>m_1+m_2)

を考えます。

ここで、追加的にどうやら xは m_2より大きいらしいということがわかったとします。

つまり、このような条件付確率を考えます。

Prob(x>m_1+m_2| x>m_2)

感覚的には Prob(x>m_1)と Prob(x>m_1+m_2| x>m_2)では異なっていそうですが、指数分布を仮定した場合、この二つは同値になります。このことを示します。

Prob(x>m_1)=\int_{m_1}^{\infty} \lambda x exp(-\lambda x)dx

=exp(-\lambda m_1)

更に、

Prob(x>m_1+m_2| x>m_2)=\frac{Prob(x>M)}{Prob(x>m_2)}=\frac{exp(-\lambda (m_1+m_2) )}{exp(-\lambda m_2)}=exp(-\lambda m_1)=Prob(x>m_1)


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