バナナでもわかる話

計量経済学・統計学が専門の大学院生です。統計学・経済学・投資理論・マーケティング等々に関する勉強・解説ブログ。ときどき趣味も。極力数式は使わずイメージで説明出来るよう心掛けていますが、時々暴走します。

統計検定1級対策問題集~負の二項分布編~

統計検定1級対策のために役立ちそうな計算問題をまとめるやつやっていきます。
統計検定前の最終チェックや、統計検定の勉強何をすれば分からないという場合に活用ください。


今回は負の二項分布関連。
統計検定1級は、割と分布の畳み込みと、モーメント関連の計算、近似計算が出来ればそこそこいけるので、その辺の計算問題を一通り用意しました。



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目次

負の二項分布の特徴

 P(x) = \begin{eqnarray*}
  && {}_{x+r-1} C _x \\
\end{eqnarray*} p^{r} (1-p)^{x}

・離散値の分布
 x ≧0
 p \in [0,1]
 r≧0


モーメント周りの計算

確率母関数の導出

確率母関数の定義は次の通りでした。
 E[t^x]

これを計算します。
 E[t^x]=\sum_{x=0}^{\infty} t^x \begin{eqnarray*}
  && {}_{x+r-1} C _x \\
\end{eqnarray*} p^{r} (1-p)^{x}

 = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!} p^{r} \{t(1-p)\}^{x}

 =p^r \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!} \{t(1-p)\}^{x}

 =p^r \{\frac{1}{1-t(1-p)} \}^{r-1+1}…(一般二項定理)

 = \{\frac{p}{1-t(1-p)} \}^r


積率母関数の導出

積率母関数の定義は次の通りでした。
 E[exp(tx)]

確率母関数の時と同様の計算で出来ます。
 E[e^{tx}]= \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} \begin{eqnarray*}
  && {}_{x+r-1} C _x \\
\end{eqnarray*} p^{r} (1-p)^{x}

 = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!} p^{r} \{ e^t (1-p) \}^x

 = p^r \{\frac{1}{1-e^t(1-p)}\}^r…(一般二項定理)

 \{ \frac{p}{1-e^t(1-p)}\}^r



期待値の導出

定義に従った計算

まず、定義に従って期待値を求めてみます。
 E[x]= \sum_{x=0}^{\infty} x \begin{eqnarray*}
  && {}_{x+r-1} C _x \\
\end{eqnarray*} p^{r} (1-p)^{x}

 = r p^r (1-p) \sum_{x=1}^{\infty} \frac{(x+r-1)!}{(x-1)! r!} (1-p)^{x-1}

 =r p^r (1-p) \{\frac{1}{1-(1-p)}\}^{r+1} …(一般二項定理)

 =\frac{r(1-p)}{p}


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分散の導出

定義に従った計算

 Var[x]=E[(x-E[x])^2]=E[x^2-2xE[x]+E[x]^2]=E[x^2]-E[x]^2

ここで

 E[x(x-1)]= \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) \begin{eqnarray*}
  && {}_{x+r-1} C _x \\
\end{eqnarray*} p^{r} (1-p)^{x}

 = \sum_{x=2}^{\infty} \frac{x+r-1}{(x-2)! (r-1)!} p^r (1-p)^{x}

 = r(r+1) p^r (1-p)^2  \sum_{x=2}^{\infty} \frac{x+r-1}{(x-2)! (r+1)!}  (1-p)^{x}

 = r(r+1) p^r (1-p)^2 \{\frac{1}{1-(1-p)}\}^{r+2}

 =r(r+1) \{\frac{1-p}{p}\}^2

 Var[x]= r(r+1) \{\frac{1-p}{p}\}^2 + \frac{r(1-p)}{p} -\{\frac{r(1-p)}{p}\}^2

 =\frac{r(1-p)}{p^2}


ポアソン分布とガンマ分布を用いた負の二項分布の導出

ポアソン分布のパラメータ \lambdaの事前分布にガンマ分布を与えると、周辺分布が負の二項分布になります。
これを示します。

 x ~ Poi(\lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}

 \lambda ~ NB(\alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\lambda^{\alpha-1} e^{-\beta \lambda}

 \int_0^{\infty}  \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}  \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\lambda^{\alpha-1} e^{-\beta \lambda} d\lambda

 = \frac{\beta^{\alpha}}{x! \Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} \lambda^{x+\alpha-1} e^{-\lambda(1+\beta)} d\lambda

ここで、 \theta = \lambda(1+\beta)とおくと、

 =\frac{\beta^{\alpha}}{x! \Gamma(\alpha) (1+\beta)^{x+\alpha}} \int_0^{\infty} \theta^{x+\alpha-1} e^{-\theta} d\theta

 =\frac{\Gamma(x+\alpha)}{x! \Gamma(\alpha)} \{\frac{1}{1+\beta}\}^x \{ \frac{\beta}{1+\beta} \}^{\alpha}

これは負の二項分布。


負の二項分布の再生性の証明

先ほど示したように、積率母関数は次のようでした。

 \{ \frac{p}{1-e^t(1-p)}\}^r


 \{ \frac{p}{1-e^t(1-p)}\}^{r_1}\{ \frac{p}{1-e^t(1-p)}\}^{r_2}

 = \{\frac{p}{1-e^t(1-p)}\}^{r_1+r_2}

これはやはり負の二項分布。



積率母関数の一意性より、再生性が示せた。

リンク

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