バナナでもわかる話

計量経済学・統計学が専門の大学院生です。統計学・経済学・投資理論・マーケティング等々に関する勉強・解説ブログ。ときどき趣味も。極力数式は使わずイメージで説明出来るよう心掛けていますが、時々暴走します。

統計検定1級対策問題集~ガンマ分布編~

統計検定1級対策のために役立ちそうな計算問題をまとめるやつやっていきます。
統計検定前の最終チェックや、統計検定の勉強何をすれば分からないという場合に活用ください。


今回はガンマ分布関連。
ガンマ関数の処理に慣れるまでは難しいかもしれません。


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目次

ガンマ分布の特徴

 f(x) =\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}exp(-\beta x)

・連続値の分布
 x >0
 \alpha,\betaは正
 \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}exp(-t) dt

ガンマ関数は、階乗を一般化したものです。


モーメント周りの計算

積率母関数の導出

積率母関数の定義は次の通りでした。
 E[exp(tx)]

計算していきます。

 E[exp(tx)]=\int_{0}^{\infty} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} exp(tx-\beta x) dx

 = \int_{0}^{\infty} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha) (\beta-t)^{\alpha-1}} ((\beta-t) x)^{\alpha-1} exp(tx-\beta x) dx

 = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha) (\beta-t)^{\alpha-1}} \int_{0}^{\infty}  ((\beta-t) x)^{\alpha-1} exp(-(\beta-t) x) dx

 =\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha) (\beta-t)^{\alpha}}  \int_{0}^{\infty}  ((\beta-t) x)^{\alpha-1} exp(-(\beta-t) x) d((\beta-t)x)

 =\frac{\beta^{\alpha} \Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha) (\beta-t)^{\alpha}}

 =(\frac{\beta}{\beta-t})^{\alpha}


期待値の導出

定義に従った計算

定義に従って期待値を求めてみます。
 E[x]=\int_{0}^{\infty} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha} exp(-\beta x) dx

 =\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty} (\beta x)^{\alpha} exp(-\beta x) dx

 = \frac{1}{\beta \Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty} (\beta x)^{\alpha} exp(-\beta x) d(\beta x)

 =\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha) \beta}

 =\frac{\alpha}{\beta}


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分散の導出

定義に従った計算

 Var[x]=E[x^2] -(E[x])^2

 E[x^2] =\int_{0}^{\infty} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha+1} exp(-\beta x) dx

 = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\beta \Gamma(\alpha)} (\beta x)^{\alpha+1} exp(-\beta x) dx

 = \frac{1}{\beta^2 \Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}  (\beta x)^{\alpha+1} exp(-\beta x) d(\beta x)

 = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^2 \Gamma(\alpha)}

 \frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta^2}

 Var[x] = \frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta^2} - \frac{\alpha^2}{\beta^2}=\frac{\alpha}{\beta^2}


ガンマ分布の再生性について

 x_1 ~ Ga(\alpha_1,\beta)
 x_2 ~ Ga(\alpha_2,\beta)

に関して、ガンマ分布は再生性がある。これは先ほど導出した積率母関数を考えると明らかで、

 (\frac{\beta}{\beta-t})^{\alpha_1} (\frac{\beta}{\beta-t})^{\alpha_2}=(\frac{\beta}{\beta-t})^{\alpha_1+\alpha_2}

積率母関数と分布は1対1対応するため、 x_1+x_2もガンマ分布することがわかる。

ガンマ分布とポアソン分布の関係

ガンマ分布の上側確率は適当な仮定のもとでポアソン確率関数の和と解釈出来ます。
この性質はポアソン過程を考える際に用います。


まず、 \alphaを1以上の正整数とする。そして正の実数 \omegaを用意して、次のようなものを考える。

 \int_{\omega}^{\infty} f(x) dx =\int_{\omega}^{\infty} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}exp(-\beta x) dx

 = -\int_{\omega}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(\alpha)} (\beta x)^{\alpha-1} (exp(-\beta x))^{'} dx

 =-\{ [ \frac{(\beta x)^{\alpha-1}}{ exp(\beta x)\Gamma(\alpha)} ]_{\omega}^{\infty} - \int_{\omega}^{\infty} \frac{\alpha-1}{\Gamma(\alpha)}  (\beta x)^{\alpha-2} exp(-\beta x) dx \}

 =\frac{(\beta \omega)^{\alpha-1}  exp(-\beta \omega)}{ (\alpha-1)!} + \int_{\omega}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(\alpha-1)}  (\beta x)^{\alpha-2} exp(-\beta x) dx

 =\frac{(\beta \omega)^{\alpha-1}  exp(-\beta \omega)}{ (\alpha-1)!} + \frac{(\beta \omega)^{\alpha-2}  exp(-\beta \omega)}{ (\alpha-2)!} + \cdots +\frac{(\beta \omega)^{\alpha-\alpha}  exp(-\beta \omega)}{ (\alpha-\alpha)!}

 =\sum_{k=0}^{\alpha-1} \frac{(\beta \omega)^k  exp(-\beta \omega)}{ k!}

これはパラメータ \beta \omegaのポアソン確率関数の和。


リンク

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