統計検定1級対策問題集~一様分布編~

さて、意外と鬼門な一様分布に関する想定問題(及び過去問)とその解答例を作成して見ました。

離散一様分布の期待値、分散、歪度
連続一様分布の期待値、分散、歪度、積率母関数
変数変換後の分布
max,minの分布
最尤推定量
逆関数法
二番目に小さいものの分布

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離散一様分布の期待値、分散、歪度

問1 確率変数Xが1,2,...nの値を取る離散一様分布に従うと仮定する。この時期待値、分散、歪度を求めよ

期待値について
$E[X]=\sum_{x=1}^n \frac{x}{n}=\frac{n+1}{2}$

分散について
$E[X^2]=\sum_{x=1}^n \frac{x^2}{n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$

$Var[X]=E[X^2]-E[X]^2=\frac{(n+1)(n-1)}{12}$

歪度について
$E[X^3]=\sum_{x=1}^n \frac{X^3}{n}=\frac{n(n+1)^2}{4}$

$E[\frac{(X-\mu)^3}{\sigma^3}]=\frac{1}{\sigma^3}E[X^3-3\mu X^2 +3\mu^2 X -\mu^3]=\frac{1}{\sigma^3} × \frac{(n+1)^2}{4} × 0=0$

連続一様分布の期待値、分散、歪度、積率母関数

問２確率変数Xが区間 $[a,b]$ 上で連続一様分布に従うと仮定する。この時期待値、分散、歪度、積率母関数を求めよ。

期待値について
$E[X]=\int_{a}^b \frac{X}{b-a} dX=\frac{a+b}{2}$

分散について
$E[X^2 ]=\int_{a}^b \frac{X^2}{b-a} dX=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$

$Var[X]=E[X^2]-E[X]^2=\frac{(a-b)^2}{12}$

積率母関数について
$E[exp(tX)]=\frac{1}{b-a} \int_{a}^b exp(tX)dX=\frac{exp(tb)-exp(ta)}{t(b-a)}$

歪度について
$E[X^3]=\int_{a}^b \frac{X^3}{b-a}dX=\frac{(b+a)(b^2+a^2)}{4} [tex: E[\frac{(X-\mu)^3}{\sigma^3}]=\frac{1}{\sigma^3}E[X^3-3\mu X^2 +3\mu^2 X -\mu^3]=0$

変数変換後の分布

問３ Xが区間 $[0,1]$ 上で連続一様分布に従うと仮定する。この時 $X^2$ の累積分布、密度関数、期待値、分散を求めよ

密度関数について
$Y=X^2$ とおく。 $f(x)=1,g(y)$ :Yの密度関数とする。

密度関数の定義より
$P(x < X < x+\Delta x)=P(y < Y < y + \Delta y)$

$⇔ f(x) \Delta x = g(y) \Delta y$

よって

$g(y) = f(x) \frac{dx}{dy}=\frac{1}{2} Y^{-\frac{1}{2}}$

累積分布について
$G(y)=\int_0^y \frac{1}{2}Y^{-\frac{1}{2}} dY =y^{\frac{1}{2}}$

期待値について
$E[Y ]=\int_{0}^1 \frac{1}{2} Y^{\frac{1}{2}} dY =\frac{1}{3}$

分散について
$E[Y^2 ] = \int_{0}^1 \frac{1}{2} Y^{\frac{3}{2}} dY = \frac{1}{5}$

$Var[Y ]=\frac{4}{45}$

max,minの分布

問４ U,Vは独立に区間 $[0,1]$ の一様分布に従うと仮定する。X=max(U,V),Y=min(U,V)とおく。X,Yの累積分布、密度関数、同時密度関数、相関係数を求めよ

累積分布について
(X ≤ x)⇔(U ≤ x)&(V ≤ x)

$G_1(x)=Pr(X ≤ x)=Pr(U ≤ x)Pr(V ≤ x)=\int_{0}^x 1 du \int_{0}^x 1 dv=x^2$

$G_2(y)$
$=Pr(Y ≤ y)=1- Pr(Y ≥ y)=1-Pr(y ≤ U)Pr(y ≤ V)$
$=1-\int_{y}^1 1 du \int_{y}^1 1 dv = 1-(1-y)^2$

密度関数について
$g_1(x)=\frac{d G_1(x)}{dx}=2x$

$g_2(y) = \frac{d G_2 (y)}{dy}=2(1-y)$

同時密度関数について
同時分布 $G(x,y)$ を考える。

$G(x,y) = Pr(X ≤ x, Y ≤ y)=Pr(X ≤ x)-Pr(X ≤ x, y ≤ Y)$
$= Pr(X ≤ x)- Pr( y ≤ U, V ≤ x) = x^2 - \int_{y}^x 1 du \int_{y}^x 1 dv = y(2x-y)$

よって同時密度関数 $g(x,y)$ は

$g(x,y)=\frac{G(x,y)}{\partial x \partial y}=2$

相関係数について
$E[X]=\frac{2}{3}$
$E[Y]=\frac{1}{3}$

ここでY≤Xなので

$E[XY]=\int_{0}^1 \int_{0}^x 2xy dy dx =\frac{1}{4}$

$E[X^2]=\frac{1}{2}$
$E[Y^2]=\frac{1}{6}$

よって相関係数 $\rho(x,y)$ は
$\rho(x,y)=\frac{1}{36}$

最尤推定量

これは、前に記事にしたので、以下の記事の一様分布の欄を参照。
www.bananarian.net

逆関数法

問５連続確率変数Zについて累積分布F(z)=P(Z≤z)について、U=F(z)は区間[0,1]の一様分布に従うことを示せ

これは、ほとんど自明ですが

まず、累積分布関数は単調増加関数なので
$F(z)=P(Z ≤ z)=P(F(Z) ≤ F(z))$

つまり $F(z)=u$ とおくと、

$P(F(Z) ≤ u)=u$

これは一様分布の累積分布関数である。

二番目に小さいものの分布

問６ $U_1,U_2,U_3$ が独立に区間[0,1]の一様分布に従うと仮定する。二番目に小さいものをXとおく。この時のXの密度関数を求めよ

統計検定１級の過去問で「最小のものを $X_1$ ,次に小さいものを $X_2$ ,最も大きいものを $X_3$ とした時の密度と期待値を求めよ」が出題されていますが、本記事の問４と問６を組み合わせると解くことが出来ます。

分布関数Gをまず考える。

$G(x)= Pr(X ≤ x)$
ここで $U_1 ≤ U_2 ≤ U_3$ を一旦仮定してやると(X ≤ x)が成り立つに当たって考えられる条件は次の２通り。

$U_1 ≤ x かつ　U_2 ≤ x かつ U_3 ≤ x$ ...①

$U_1 ≤ x かつ U_2 ≤ x かつ U_3 ≥ x$ ...②

ここで、①は $U_1からU_3$ の大小問わず成り立つが、②は大小の組み合わせに応じて3通り存在する。

よって $Pr(X ≤ x)$ は次のようになる。

$G(x)=Pr(X ≤ x)=Pr(U_1 ≤ x)Pr(U_2 ≤ x) Pr(U_3 ≤ x)+3\{(\int_{0}^x 1 du)^2 (\int_{x}^1 1 du)\}$
$= x^3+3 x^2 (1-x)$

以上より密度関数は

$g(x)=\frac{d G(x)}{dx}=6x(1-x)$

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